期待リターンがプラスでも、資産が減っていく理由

コインゲームを考える

表なら掛け金が1.5倍、裏なら0.6倍になるコインゲームでは、1回の期待倍率は1.05倍です。 それでも全財産を賭けて表と裏を一度ずつ引けば、資産は2回後に1.5 × 0.6 = 0.9倍になります。 平均がプラスでも、資産がたどる一つの道のりは決まりません。 この差は、足し算で見る平均と、残高に倍率を掛け続けた結果が別だから生まれます。

100円を固定して賭けるなら、1回の期待利益は+5円

最初に、毎回100円だけを賭けるコインゲームを考えます。 表なら賭け金を含めて150円を受け取り、裏なら60円を受け取ります。 つまり、1回ごとの損益は表が+50円、裏が−40円です。 表裏の確率をそれぞれ1/2とすると、期待利益は次のとおりです。

$$(50 - 40) \div 2 = +5$$

このゲームでは賭け額がいつも100円です。 残高は、勝てば50円増え、負ければ40円減るという足し算で動きます。 途中で減ることはあっても、賭け額そのものが残高に合わせて膨らんだり縮んだりはしません。

残高の全額を賭けると、同じ「平均」では見えない

今度は残高の全額を賭け、表なら1.5倍、裏なら0.6倍になるとします。 1回の期待倍率は、

$$(1.5 + 0.6) \div 2 = 1.05$$

で、たしかに1より大きい値です。 しかし、表と裏が同じ回数だった場合、2回で資産は1.5 × 0.6 = 0.9倍です。 1回あたりへ戻すと、複利での倍率はsqrt(0.9)、およそ0.949倍になります。

ここで比べているのは別の値です。 1.05倍は1回の倍率を足して平均した値で、約0.949倍は勝ち負けが同数のときに実際に積み上がる倍率です。 全額を賭けると、増減が残高へ掛け算で効くため、この差が資産経路に現れます。

同じランダムな100回の勝敗の資産推移

初期資産は10,000円です。 同じランダムな100回の勝敗（48勝52敗）を両方へ適用します。 固定額ゲームは毎回100円を賭け、全額ゲームは毎回残高の全額を賭けます。

資産額

回数

• 固定100円
• 残高の全額

固定100円では最終資産額が10,320円です。 残高全額では約8.25円です。 同じランダムな勝敗でも、固定額は足し算、全額は掛け算で残高が動くため、結果が分かれます。

米国株式市場の日次リターンを4つの分布で比べる

次は仮想のコインではなく、Kenneth R. French Data Libraryの日次データを使います。¹ 使用期間は1926年7月1日から2026年6月30日までの全26,274観測で、除外はありません。² Mkt-RFは市場の超過リターンで、同じ日のRFを足し戻します。³ r = (Mkt-RF + RF) / 100の日次単純リターンを、x = log(1 + r)の日次対数倍率に変換して4分布を当てはめました。⁴

正規分布は左右対称で、極端な値が出る裾を薄く置くモデルです。 Studentのt分布も左右対称で、裾を厚く置くモデルです。 Hansen skew-t分布は、下落側の裾をより厚く表せます。 正規逆ガウス（NIG）分布は、左右差と厚い裾を柔軟に表せます。

AICcは、同じ日次データにどの分布がどれだけ合うかを比べる指標で、小さいほどこの標本にはよく合います。 この比較ではNIG分布が1位で、Hansen skew-t分布は2位でした。

4モデルで10年、20年、30年を比べる

初期資産を10,000円とし、1年を252営業日として、各モデル10,000経路を10年、20年、30年まで積み上げました。⁵ P10は最終資産額を小さい順に並べたときの下位10%の境目です。 中央値は中央の資産額、元本割れは10,000円を下回った経路の割合を表します。

最初の経路図は、各モデルの30年後の資産額が高い順に5,000位となる実経路を4本重ねた全域図です。 縦軸は、金額の比率を読みやすくする対数目盛りです。 経路は日次で計算し、図では21営業日ごとの値を示します。 続く2つのヒストグラムは、各モデルの30年後の全10,000経路の終値を示します。 2つ目のヒストグラムは、同じ4モデル×10,000終値のうち1,000円から100,000円の表示範囲だけを拡大したものです。 終値を削除したり、集計し直したりしていません。

資産額

経過時間

• 正規分布
• 対称 Student-t 分布
• Hansen skew-t 分布
• Normal-inverse-Gaussian 分布

4モデルそれぞれの30年後の全1万終値を、全モデルで共通する階級と資産額の対数軸で重ねています。

• 正規分布
• 対称 Student-t 分布
• Hansen skew-t 分布
• Normal-inverse-Gaussian 分布

4モデルそれぞれの同じ30年後の全1万終値と共通階級を使い、1,000円から100,000円の範囲だけを拡大しています。範囲外の値は削除も再計算もしていません。

• 正規分布
• 対称 Student-t 分布
• Hansen skew-t 分布
• Normal-inverse-Gaussian 分布

経路図の線は、各時点の中央値をつないだ線ではなく、30年後の終値順位が中央の実経路です。 同じ初期資産と期間でも、モデルによって中央付近の経路は異なります。 全域と1,000円から100,000円の拡大を見比べると、4モデルで終値全体の広がりが異なることも分かります。

期間を10年、20年、30年と切ったときの下位10％（P10）、中央値、元本割れ確率をそれぞれ示します。

10年後

20年後

30年後

三つの期間すべてで、Hansen skew-t分布はP10と中央値が最も低く、元本割れが最も高くなりました。 そのため、ここからは4つのうち最も保守的な結果を示したHansen skew-t分布に注目します。

Hansen skew-t分布の中央値を年率へ戻す

中央値から換算した年率幾何平均は、各期間の中央値を初期資産10,000円で割り、その期間で複利換算した値です。 同じ26,274営業日の実績リターンを日次の対数倍率で平均し、1年252営業日として複利換算すると、年率幾何平均は9.83%でした。 実績の9.83%は一つの時系列を平均した値で、表の8.85%、8.82%、8.81%は10,000経路の終値を横断して求めた中央値からの換算です。 同じ複利の年率でも、求め方が異なります。

平均がプラスかどうかだけでは、資産の道のりは決まらない

固定額のゲームでは、1回あたりの期待利益+5円が残高へ足し算で加わります。 全額ゲームでは、同じように平均倍率が1を超えていても、損失と複利の組み合わせが残高へ掛け算で続きます。 見るべきものは平均だけではなく、どの倍率を繰り返すのか、中央値がどこにあるのか、元本を下回る経路がどれだけあるのかです。

Kenneth R. French Data Libraryの日次データに4つの分布を当てはめ、その分布から資産経路を計算しました。 Studentのt分布は上振れていましたが、Hansen skew-t分布では普通の正規分布よりも下振れる様子が確認できます。 運の悪いケースで、30年後の資産が1/10になっているものもありました。

おまけ：Hansen skew-t分布の5つの実経路

初期資産10,000円から、Hansen skew-t分布で10,000経路を日次で30年間積み上げました。 表示は21営業日ごとです。 5本は、30年後の資産額が高い順に上位10%、30%、50%、70%、90%となる実経路です。

資産額

経過時間

• 上位 10%
• 上位 30%
• 上位 50%
• 上位 70%
• 上位 90%

同じモデルでも、終値順位が異なる実経路では途中の資産額と30年後の資産額が大きく分かれます。

脚注

1. データはKenneth R. French Data LibraryのFama/French 3 Factors（日次CSV）を2026年8月23日に取得しました。 ↩

2. 使用期間は1926年7月1日から2026年6月30日で、元CSVで0.01%刻みに丸められた日次の公表値を%から小数へ換算した全26,274観測を用い、除外はありません。 ↩

3. Mkt-RFは市場の超過リターン、RFは無リスク利子率であり、項目の定義はFama/Frenchの市場超過リターンの説明を参照してください。 ↩

4. 日次単純リターンはr = (Mkt-RF + RF) / 100、日次対数倍率はx = log(1 + r)として計算しました。 ↩

5. 日次対数倍率xを日々加算して資産額を計算しました。 ↩